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Le raisonnement par l’absurde

La discussion mathématique qui suit s’adresse à un public possédant des notions de logique vues en particulier au premier cycle universitaire.
Proposition
Il est parfois plus aisé de démontrer que A=>B en démontrant que !B et A est absurde (=FAUX), ou encore "contraire à l’hypothèse A".

_Cette proposition constitue le raisonnement par l’absurde._
Démonstration
Notation :
=>“implique”
<=> "est equivalent à"
!“non” ("l’opposé de") ET représente l’opérateur logique : "vrai si et seulement si les 2 opérandes sont vraies.

1/ Montrons tout d’abord que A=>B et équivalent à !B => !A

sens gauche-droite : A=>B => !B => !A

si A implique B, on ne peut avoir A ET !B, or ET est une opération commutative. ce qui revient à : "on ne peut avoir !B et A", donc si on ne peut avoir !B et A, c’est que !B => !A, donc A=>B => !B=>!A

sens droite-gauche : !B => !A => A=>B

soit à considérer !B => !A, cela implique que !B et A est faux, or et est commutatif, donc A et !B est faux, donc A => B.

Nous avons ainsi démontré que A => B <=> !B => !A (I)

2/ Montrons maintenant que l’équivalence (I) valide un raisonnement par l’absurde :

Si en posant l’hypothèse A, on montre que !B et A est faux, alors on aura montré que !B => !A, or (I) nous dit que l’équivalence atteste que A=>B dans ce cas, donc on aura montré A=>B. CQFD.

Exemple de démonstrations par l’absurde :

Soit un mobile M qui se déplace et fini par s’arrêter en B. Montrer qu’il arrive en B avec une vitesse nulle.

Démonstration par l’absurde
Posons A la proposition : "un mobile M se déplace et fini par s’arrêter en B (sous-entendu à l’instant t par exemple).
Et appelons B la proposition :“sa vitesse est nulle quand il arrive en B”, le raisonnement par l’absurde est :

(!B et A) est FAUX, montrons-le!

Donc à supposer !B : supposons que sa vitesse en B ne soit pas nulle. Donc en B à l’instant t, sa vitesse n’est pas nulle, notons là v, donc en un temps infinitésimal dt, il a encore le“temps” de parcourir v.dt; or v n’est pas nul, et dt non plus, donc v.dt est strictement positif, donc il a parcouru une distance depuis B, ce qui est contraire à l’hypothèse A : "finit par s’arrêter en B". Donc c’est absurde. Donc A=>B.

Cette exemple trivial a fait couler beaucoup d’encre, (et continue), il prouve en fait que bien qu’il soit possible de diviser un segment AB en une infinité de sous-segments, et qu’il faille une infinité d’incréments infinitésimaux dt pour parcourir AB, il EST possible d’arriver en B (= s’arrêter en B), puisque c’est l’hypothèse A !

Le hic dans le fameux paradoxe d’Achille et la tortue fut de croire longtemps qu’une somme infinie d’élements infinitésimaux ne peux pas être finie, alors le concept rigoureux de convergence et de limite d’une suite a posé un cadre définitif autour du problème.

J’aime d’ailleurs beaucoup la démonstration du théorème de l’existence d’une limite d’une suite convergente (Mathématiques Supérieures).

Soit une suite dont les termes peuvent s’approcher aussi près qu’on le veuille d’un réel l, appelé limite, quand l’indice des termes n tend vers l’infini, alors la suite est convergente et a pour limite l.

Démonstration par l’absurde
Imaginons donc que la suite u ne soit pas convergente de limite l, mais ou bien pas convergente du tout, ou bien de limite m != l :

si elle ne converge pas, on ne peut pas s’approcher de l à moins d’epsilon fixé d’avance, ce qui est contraire à l’hypothèse.
Enfin, si elle a une limite m != l, alors m-l n’est pas nul, et donc on ne s’approchera pas de l aussi près qu’on le souhaite puisque la suite tend vers m quand n tend vers l’infini. Ce qui est contraire à l’hypothèse !

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créé le 04 septembre 2011
révisé le 11 février 2017 par
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